Integrali risolti col metodo della decomposizione in somma

3 esercizi sull'integrazione per decomposizione in somma.

Esercizio 1

$\int \frac{x}{x+1} dx$

Sommando e sottraendo 1 al numeratore della funzione integranda otteniamo

$\int \frac{x}{x+1} dx=\int \frac{x+1-1}{x+1} dx=\int (1-\frac{1}{x+1}) dx=$

$\int 1dx-\int \frac{dx}{x+1}=x-log\left | x+1 \right |+c$

Esercizio 2

Calcoliamo l'integrale indefinito

$\int tg^{2}x\cdot dx$

ricordando la definizione della funzione tangente, abbiamo

$tg^{2}x=\frac{sen^2x}{cos^2x}=\frac{1-cos^2x}{cos^2}=\frac{1}{cos^2x}-1$

per decomposizione in somma otteniamo

$\int tg^{2}xdx=\int \left ( \frac{1}{cos^2x}-1 \right )dx=\int \frac{dx}{cos^2x}-\int dx=tgx-x+c$

Esercizio 3

Calcoliamo l'integrale indefinito

$\int sen^2x\cdot dx$

ricordiamo la formula di duplicazione

$cos2x=cos^2x-sen^2x=1-2sen^2x$

da cui si deduce che

$sen^2x=\frac{1-cos2x}{2}$

Otteniamo

$\int sen^2x\cdot dx=\frac{1}{2}\int \left ( 1-cos2x\right )dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}sen2x+c$

nell'ultimo passaggio si è tenuto conto che D(sen2x) = 2cos2x.

Integrali risolti col metodo della decomposizione in somma

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