3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=-1 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;-1\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} y=0\\ x^{2}-1=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(\pm1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x^{2}-1>0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow x<-1\:\vee\: x>1\\ f\left(x\right)<0\rightarrow x>-1\:\wedge\: x<1 \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\left[\infty\cdot0\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{2}-1}{e^{-x}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Con De L'Hopital otteniamo: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{-e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2}{e^{-x}}=0 \] y=0 è quindi asintoto orizzontale per la funzione. Inoltre \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] ne consegue che non ci sono asintoti obliqui.
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f'\left(x\right)=2xe^{x}+\left(x^{2}-1\right)e^{x} \] \[ f'\left(x\right)=e^{x}\left(x^{2}+2x-1\right) \] Studiamone il segno: \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+2x-1\geq0 \] \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-1-\sqrt{2}\:\vee\: x\geq-1+\sqrt{2} \] Per x compreso tra i due valori -1-rad2 e -1+rad2 la funzione è decrescente, per valori esterni è invece crescente. Otteniamo un minimo per \[ x_{MIN}=-1+\sqrt{2} \] e un massimo per \[ x_{MAX}=-1-\sqrt{2} \]
Derivata seconda: \[ f''\left(x\right)=e^{x}\left(x^{2}+2x-1\right)+e^{x}\left(2x+2\right) \] \[ f''\left(x\right)=e^{x}\left(x^{2}+4x+1\right) \] \[ f''\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+4x+1\geq0 \] \[ f''\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-2-\sqrt{3}\:\vee\: x\geq-2+\sqrt{3} \] Abbiamo quindi due punti di flesso: \[ x_{F1}=-2-\sqrt{3} \] \[ x_{F2}=-2+\sqrt{3} \] Per valori interni la funzione è concava, per valori esterni f(x) è convessa.
f'(x)>0 non dovrebbe essere:
RispondiEliminax<-1-rad2 U x>-1+rad2 ???
Si infatti... ho tolto il 2 al denominatore. Grazie!
RispondiEliminaciao albert! potresti spiegarmi con i passaggi i limiti? perchè non capiscocome facciano a tornarti quei segni
RispondiEliminaCiao Anonimo,
RispondiEliminaPer x--> -inf viene:
((-inf)^2 -1)*e^(-inf) =
= (+inf -1)*(0+) =
= (+inf)*(0+) = +inf per confronto tra infinitesimi, ma si può usare anche de l'hopital 2 volte, portando al denominatore e^(-x)
Per x--> +inf viene:
((+inf)^2 -1)*e^(+inf) =
= (+inf -1)*(+inf) =
= (+inf)*(+inf) = +inf
Ciao, volevo inanzitutto complimentarmi per il sito che è davvero ben fatto ma sopratutto utilissimo. Volevo chiederti: Ma il lim per trovare l'asintoto obliquo non dovrebbe venire indeterminato? Perchè risulterebbe inf/inf, come riesco a risolverlo?
Eliminafai una volta de l'hopital e ti viene +inf ;)
Eliminaciao albert! ti chiedo come hai fatto ad arrivare a tali punti di flesso in quanto io eseguendo i calcoli non semplificati trovo (-4+-radice12)/2 ; non riesco a capire dove sbaglio perche al di la della semplificazione i valori non corrispondono..
RispondiEliminagrazie
Ciao Anonimo,
RispondiElimina(-4+-radice12)/2 = -2+-rad3
ed effettivamente nella mia semplificazione c'era un 2 di troppo al denominatore. Ora ho modificato, grazie!
scusa, ho un esame tra 3 giorni, volevo chiederti come fai a trovare le coordinate dei punti di massimo e minino?
RispondiEliminaper disegnarle poi sul grafico..
cioè in questo caso in particolare come hai fatto?
grazie mille!
Inserisci x=-1-rad2 nella funzione iniziale e trovi la y del massimo.
RispondiEliminaInserisci x=-1+rad2 nella funzione iniziale e trovi la y del minimo.
CIAO ALBERT!
RispondiEliminacomplimenti per il sito, davvero esaustivo!
ma volevo chiederti: quando studi la y", quando hai -2-rad3 è positiva (quindi convessa) ma perchè è disegnata come se fosse concava? anche tra -1 e 1 è concava ma è disegnata convessa!
lo confesso, sono un po' stanca! grazie Albert!
Ciao,
RispondiEliminaper x=-2-rad3 e x=-2+rad3 la f(x)''=0, e f(x) ha due punti di flesso a tangente obliqua.
- Per x<-2-rad3 la f è convessa
- Tra -2-rad3 3 -2+rad3 la f è concava (e qui l'ho disegnata un po' male effettivamente)
- Per x>-2+rad3 la f è convessa
Scusa, perchè quando fai il segno della derivata prima ti viene -1-rad2 e -1+rad2? A me viene -2-rad2 e -2+rad2... :(
RispondiEliminaDelta = b^2 - 4ac =
RispondiElimina= 2^2 -4*1*(-1) =
= 4+4 = 8
x(1,2) = (-b +- rad(delta)) / (2a) =
= (-2 +- rad(8)) / (2a) =
= (-2 +- 2rad(2)) / (2a) =
= 2(-1 +- rad(2)) / (2a) =
= (-1 +- rad(2)) / a
Grazieeeee!!! :) non ci sarei mai arrivata! =)
RispondiEliminaStefania
Ciao Albert, mi spieghi come mai nel calcolo delle intersezioni con l'asse delle x tralasci l'e^x e consideri solo x^2-1? grazie
RispondiEliminaPerchè la funzione e^x (vedi grafico) non è mai uguale a zero.
RispondiEliminascusa ma non abbiamo l'asintoto orizzontale ad Y=0?? xke la funzione passa sull'asintoto?
RispondiEliminaPer x che tende a meno infinito la funzione ha asintoto orizzontale y=0, e dal grafico si vede... Ma il fatto che la funzione abbia un dato asintoto orizzontale non significa che essa in uno o più punti non possa intersecarlo (in questo caso avviene in x=+1 e x=-1)
RispondiEliminascusi non ho capito bene il fatto delle intersezioni nelle funzioni esponenziali.perchè negli altri esempi nelle intersezioni la x=0 non esiste in questo esempio invece è calcolata?
RispondiEliminaDipende dal dominio della funzione: se x=0 appartiene al dominio cerco l'intersezione, se invece per x=0 la funzione non esiste non ha senso cercare una intersezione che so già che non esiste.
EliminaCiao Albert scusa ma in questa funzione non dovrebbe essere escluso 1 dal dominio?
RispondiEliminaGrazie
Per x=1 la funzione esiste e vale zero (punto (1;0))...quindi nessun problema di esistenza.
Eliminaciao!potresti spiegarmi perchè la derivata' risulta 2xe^x+(x^2-1)e^x
RispondiEliminaDevo fare la derivata del prodotto f=(x^2-1)e^x, quindi la derivata del primo fattore (F1=x^2-1) è F1'=2x e la derivata del secondo (F2=e^x) resta F2'=e^x:
EliminaSe f = F1 * F2 allora
f' = F1'*F2 + F1*F2'
Quindi:
f' = 2xe^x+(x^2-1)e^x
Ciao Albert, volevo chiederti di spiegarmi con più dettagli per quale motivo nel calcolo dei punti d'intersezione, quando poni y=0, non consideri e^x in " (x^2-1)*e^x=0 . Ho letto il tuo commento di sopra ma non riesco a capire il motivo. Grazie in anticipo
RispondiElimina(x^2-1)*e^x=0 quando uno dei due fattori è uguale a zero, quindi quando:
Elimina1) x^2 -1 =0 --> x=-1 e x=1
2) e^x=0 --> MAI perchè e^x>0 per ogni x
Ciao albert, ma dopo il calcolo del segno della derivata prima, trovati i punti(il punto) sono sempre sicuro che questi siano un max/min relativo?oppure è semplicemente un punto/i critico/i, quindi "candidato/i"ad essere un max e min relativo e di conseguenza c'è un metodo matematico per capire quando effettivamente rispondono a determinati requisiti che li rendono tali?grazie e scusa la domanda un po' confusa!!!
RispondiEliminaDopo lo studio del segno della f' sei sicura dei max e min o flessi a tg orizzontale, non ci sono ulteriori considerazioni.
Eliminascusami ma se il grafico non corrisponde allo studio di convessità come dovrebbe essere quello giusto?
RispondiEliminaa me calcolando i punti di flesso e di max e min (con gli stessi valori che sono suciti a te) mi escono
F(-3.7;-8.1) escluso dallo studio del segno
MAX(-2.4;-5)anche questo escluso
e poi min(0.4;-1.5) e F(-0.3;-1.7) quindi punti diversi dal disegno del tuo grafico..mi diresti il grafico giusto com è?
Le x dei punti critici approssimate da te sono giusti, ma le y no, ad esempio:
Eliminahttp://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28-2.4%29^2-1%29e^%28-2.4%29
ciao, scusa volevo chiederti se è possibile applicare sempre due volte de l'hopital? xk se non lo avessi applicato ovviamente non ci sarebbe stato un assintoto orizzontale, quando si può applicare due volte de l'hopital? e lo si può fare sempre?
RispondiEliminati ringrazio in anticipo :)
lo si può applicare quante volte vuoi, l'importante è che tu abbia una forma indeterminata del tipo inf/inf oppure 0/0
Eliminanella seguente funzione: (x+3/4)*e^-((1/-x)) il Df= R\(O) esatto? cioè 0 punto di accumulazione per il dominio ma non appartenente al dominio(Df). Perchè facendo il limite per x che tende a 0 da sx e dx mi risulta che non esiste asintoto verticale? dove ho sbagliato?
RispondiEliminaciao scusa la domanda molto stupida...ma perchè il limite di x che tende a -inf di e^x mi da come risultato zero???
RispondiEliminaCiao Albert! Senti ma dopo che hai usato la regola di de l'hopital hai trovato 2x/-e^-x. Perchè nel passaggio dopo hai tolto il meno davanti alla e e la x al due?
RispondiEliminaQuesto commento è stato eliminato dall'autore.
RispondiEliminaciao albert! nella funzione f(x)=rad x+1 che moltiplica e^ -(x+1). quando faccio la rispettiva intersezione con l asse x ..ovvero
RispondiEliminaY=0
rad x+1 che moltiplica e^ -(x+1)=0 quanto mi viene? grazie in anticipo