3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ y=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\left[\infty\cdot0\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{2}}{e^{-3x-5}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Risolviamolo con De L'Hopital: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{-3e^{-3x-5}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2}{9e^{-3x-5}}=0 \] y=0 è un asintoto orizzontale per la funzione data. \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] Non ci sono asintoti obliqui.
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f'\left(x\right)=2xe^{3x+5}+3x^{2}e^{3x+5} \] \[ f'\left(x\right)=e^{3x+5}\left(3x^{2}+2x\right) \] Studiamone il segno: \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow3x^{2}+2x\geq0 \] \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-\frac{2}{3}\:\vee\: x\geq0 \] Otteniamo quindi un minimo per \[ x_{MIN}=0 \] e un massimo per \[ x_{MAX}=-\frac{2}{3} \]
Derivata seconda: \[ f''\left(x\right)=3e^{3x+5}\left(3x^{2}+2x\right)+e^{3x+5}\left(6x+2\right) \] \[ f''\left(x\right)=e^{3x+5}\left(9x^{2}+12x+2\right) \] \[ f''\left(x\right)\geq0\rightarrow9x^{2}+12x+2\geq0 \] Otteniamo due punti di flesso: \[ x_{F1}=\frac{-2-\sqrt{2}}{3} \] \[ x_{F2}=\frac{-2+\sqrt{2}}{3} \]
scusami albert ma nel limite che va a - 00 xchè viene 0+??
RispondiEliminanon dovrebbe venire oo/( e(^-00)) cioè 00???
grazie e scusa il disturbo.
Ciao,
RispondiEliminanon viene inf/e^(-inf),
al denominatore c'è e^(-3x-5), se al posto di x metti -inf ottieni e^(-(-inf))=e^(+inf)=+inf
Quindi hai una forma indeterminata inf/inf che si risolve o con del'hopital (applicato 2 volte), oppure più semplicemente col confronto tra infiniti: e^inf è un infinito "più grande" di x^2, quindi "vince" e porta il limite a zero.
Buongiorno,non riesco a capire alcune cose:
RispondiElimina-nel secondo passaggio dello svolgimento del limite con De L'Hopital perché viene 2/9 ecc...?
-come mai cerca eventuali asintoti obliqui se vi è un asintoto orizzontale?
-come faccio a trovare i valori delle y dei massimi e dei minimi quando ho e elevato qualcosa?
Stesso problema che riscontro con i punti di flesso..
Grazie anticipatamente per la risposta..
Ciao,
RispondiElimina- Perchè la derivata del numeratore è 2, e la derivata del denominatore è -3*e^(-3x-5) *(-3) = 9e^(-3x-5)
- L'asintoto orizzontale c'è per x che tende a MENO infinito, mentre per x che tende a +infinito dobbiamo cercare un eventuale asintoto obliquo
- Al posto della x nella funzione iniziale sostituisci la x del massimo (o del minimo), e fai i calcoli
Grazie mille per i chiarimenti,mi sono accorto delle sviste!
RispondiEliminaUn'ultima cosa:quando ho e elevato qualcosa devo sostituire il suo valore numerico? Perché in questi studi di funzione capita spesso che la y di un massimo sia,ad esempio,e^5.
Perchè, se ad esempio al funzione è xe^(x-1) e la x del massimo è 6... la y viene:
RispondiElimina6*e^(6-1) = 6e^5
Cioè se i conti vengono all'esponente è normale che la base rimanga quella ("e" in questo caso), e anche all'esponente viene un numero (non più una funzione di x).
Ciao Albert, ho un dubbio per quanto riguarda l'intersezione della funzione con l'asse x. Mi spieghi quali sono i calcoli che portano ad y=0? Grazie in anticipo.
RispondiEliminaCiao Danny,
RispondiEliminase pongo y=0 ottengo:
x^2 e^(3x+5) = 0
La funzione è uguale a zero quando almeno uno dei due fattori che la compongono è uguale a zero (regola di annullamento del prodotto) quindi:
x^2=0 --> x=0 quindi f(x) passa per O(0;0)
e^(3x+5)=0 --> qui non trovo altre soluzioni perchè una funzione esponenziale non è mai uguale a zero
Grazie mille Albert. Sito fantastico e molto ben fatto.. Complimenti.
RispondiEliminaGrazie a te, buono studio!
RispondiEliminaCiao ti volevo chiedere essendo il limite di x che tende a + infinito uguale a + infinito e quello di x che tende a meno infinito uguale a 0 non si poteva fare a meno di calcolare gli asintoti abliqui?
RispondiEliminagrazie
ho visto che hai gia risposto ad una domanda simile!
RispondiEliminaEsatto, al commento 4 ;)
Eliminasalve non ho capito una cosa, quando studia il segno della derivata prima pone x^2+2x maggiore uguale a 0 e ottiene x maggiore uguale a 2/3,
RispondiEliminaper ottenere f′(x)≥0→x≤−23∨x≥0 vuol dire che c'è anche un x≥0 ma da dove lo ottiene?
è spuria...scusa sono leso =_o
RispondiEliminaL'importante è aver risolto ;)
Eliminama e' maggiore o minore di 2/3?
Eliminaminore
EliminaMa se studiamo il segno della f' >=o...come mai hai messo <=-2/3 ?????
EliminaRipassa le disequazioni di secondo grado ;)
Eliminapotreste calcolarmi la derivata prima e seconda di questa funzione
RispondiElimina18*(1-e^-x/18)
grazie
La tua funzione la puoi scrivere come
Eliminaf(x)=18-18e^(-x/18)
quindi:
f'(x)= -18 * e^(-x/18) * (-1/18)
f'(x)= e^(-x/18)
f''(x)= e^(-x/18) * (-1/18)
f''(x)= -1/18 e^(-x/18)
ciao albert mi puoi far vedere come si calcola la ymax e come viene graficamente il punto massimo? nn riesco a capire come va a finire li su il punto massimo
RispondiEliminay(max)=(-2/3)^2 e^(3(-2/3)+5)=
Elimina=4/9 e^3 che è circa 8,8...poi tieni conto che nel grafico rappresentato x e y non è detto che abbiano la stessa scala..
Ciao Albert, scusa la domanda, ma non ho capito nel 5 passaggio come sei arrivato a trasfomare la moltiplicazione di x^2 per l'e in una fratta..
RispondiEliminaHo usato il principio:
Eliminaa^b = 1/(a^(-b))
Per esempio 2^2=1/(2^(-2))=1/(1/4)=1*4=4
quindi ho portato al denominatore l'esponenziale cambiando segno all'esponente
ciao volevo sapere come mai nel passaggio del segno viene per ogni x appartenente ad R. Io ho pensato per l'insieme dei valori che è solo R+?? Grazie in anticipo
RispondiEliminaLa funzione è un prodotto di due fattori: il primo (x^2) è un quadrato e quindi sempre positivo, il secondo è un esponenziale e quindi sempre positivo. Di conseguenza il prodotto tra due fattori positivi è sempre positivo.
EliminaCiao Albert,
RispondiEliminaascolta non ho capito il passaggio per ottenere i punti di max e di minimo...
La funzione sale (derivata prima positiva) prima di -2/3, scende tra -2/3 e 0 (derivata prima negativa), e sale per x>0: quindi, visto che in x=0 e x=-2/3 la derivata si annulla, allora x=0 è un minimo e x=-2/3 un massimo.
Eliminascusa ma nello studio dei limiti se io il limite lo scrivessi come
RispondiElimina(e^(3x+5))/(x^(-2))
non andrebbe bene lo stesso??? infatti, essendo e di ordine maggiore otterrei Inf come risultato....fammi sapere!!
grazie e complimenti per il sito!
Si è ok anche il tuo ragionamento. Grazie!
EliminaQuesto commento è stato eliminato dall'autore.
RispondiEliminascusami Albert, a me la derivata prima risulta e^(3x+5) (x^2 +2x+3) cosa sbaglio??
RispondiEliminati ringrazio in anticipo
ciao questo sito è stupendo ed ho imparato molte cose...quindi molte grazie .però ho un grande dubbio se nelle disequazioni pongo >0 allora le soluzioni saranno per valori esterni, mentre se pongo la disequazione <0 per valori interni.volevo sapere se il mio ragionamente è giusto....
RispondiEliminaè uguale maggiore o minore...devi vedere se sono concordi o discordi...cioe se il segno della x di grado maggiore è concorde o discorde con il maggiore o minore che hai messo( di solito si mette maggiore)
RispondiEliminala x di grado maggiore, per esempio positivo, si dice concorde con il segno maggiore...allora avrai valori esterni e viceversa
ciao, complimenti davvero per questo sito! vorrei sapere qual è la regola per trovare la derivata di e^nx? e per e^nx+m è uguale?
RispondiElimina