Studio di funzioni - Esercizio 7

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x-2}} \] 1) Dominio: \[ D=\left(2;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{-x}{\sqrt{-x-2}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=0 \end{array}\right.\rightarrow x=0\notin D \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow2^{+}}f\left(x\right)=+\infty \] x=2 è asintoto verticale per f(x). \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=0 \] Non ci sono asintoti obliqui.

6) Derivate:

Calcoliamo la derivata prima: \[ f'\left(x\right)=\left[\sqrt{x-2}-\frac{x}{2\sqrt{x-2}}\right]\frac{1}{x-2} \] \[ f'\left(x\right)=\frac{2\left(x-2\right)-x}{2\left(x-2\right)\sqrt{x-2}} \] \[ f'\left(x\right)=\frac{x-4}{2\left(x-2\right)^{\frac{3}{2}}} \] Studiamone il segno: \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq4 \] Otteniamo quindi un minimo per \[ x_{MIN}=4 \] Derivata seconda: \[ f''\left(x\right)=\frac{2\left(x-2\right)^{\frac{3}{2}}-\left(x-4\right)\cdot2\cdot\frac{3}{2}\left(x-2\right)^{\frac{1}{2}}}{4\left(x-2\right)^{3}} \] \[ f''\left(x\right)=\frac{\sqrt{x-2}\left(8-x\right)}{4\left(x-2\right)^{3}} \] \[ f''\left(x\right)\geq0\rightarrow8-x\geq0 \] \[ f''\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq8 \] Otteniamo un punto di flesso: \[ x_{F}=8 \]