Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:
Esercizio 1
\[
\sqrt[x]{7^{7}}\cdot\sqrt[x+3]{7^{4}}=\sqrt[x+4]{7^{6}}
\]
In questo esercizio x dev'essere strettamente positivo, in modo che tutti gli indici delle radici siano positivi.
\[
7{}^{\frac{7}{x}}\cdot7^{\frac{4}{x+3}}=7^{\frac{6}{x+4}}
\]
\[
\frac{7}{x}+\frac{4}{x+3}=\frac{6}{x+4}
\]
\[
\frac{7\left(x+3\right)\left(x+4\right)+4x\left(x+4\right)-6x\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=0
\]
\[
7\left(x+3\right)\left(x+4\right)+4x\left(x+4\right)-6x\left(x+3\right)=0
\]
\[
\left(7x+21\right)\left(x+4\right)+4x^{2}+16x-6x^{2}-18x=0
\]
\[
7x^{2}+21x+28x+84+4x^{2}+16x-6x^{2}-18x=0
\]
\[
5x^{2}+47x+84=0
\]
Usando la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado:
\[
x_{1}=-\frac{12}{5}\;;\; x_{2}=-7
\]
Viste le condizioni di esistenza della nostra equazione, queste soluzioni NON sono accettabili.
Esercizio 2
\[
\sqrt[x]{\left(\frac{4}{3}\right)^{4x+7}}=\left(\frac{64}{27}\right)^{x+2}
\]
In questo esercizio x dev'essere strettamente positivo, in modo che l'indice della radice sia positivo.
\[
\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{4x+7}{x}}=\left(\frac{4}{3}\right)^{3\left(x+2\right)}
\]
\[
\frac{4x+7}{x}=3x+6
\]
\[
\frac{4x+7-3x^{2}-6x}{x}=0
\]
\[
x\neq0
\]
\[
4x+7-3x^{2}-6x=0
\]
\[
3x^{2}+2x-7=0
\]
Soluzioni:
\[
x_{1}=\frac{-1-\sqrt{22}}{3}\;;\; x_{2}=\frac{-1+\sqrt{22}}{3}
\]
La prima soluzione NON è accettabile perchè negativa!
Magnifico Grazie mille!!!!
RispondiEliminaCiao Fedex,
RispondiEliminagrazie a te del commento, buono studio!
... ma gli indici possono essere solo interi positivi, quindi entrambe le equazioni sono impossibili!
RispondiEliminaGrazie della segnalazione!
Eliminatranne x2 della seconda che è positivo e quindi accettabile...
EliminaNo, perché non è un intero. In generale il numero a^(x/y), se non sbaglio, è definito solo se x/y è una frazione irriducibile, cioè se x e y sono coprimi fra loro. Questo complica abbastanza tutto il procedimento. Se x e y non sono coprimi si possono avere casi chiaramente assurdi. Sbaglio?
EliminaSe, come credo, ho ragione, allora l'esercizio due non ammette soluzione
Intendevo l'uguaglianza tra la radice di indice y di a^x e il numero, sempre definito se a è positivo, a^(x/y).
Eliminanell'esercizio 2 come fai a trasformare (64/27)^x+2 se 64 è 4^3 e 27 è 3^3? devi moltiplicare l'esponente e poi dividerlo?
RispondiElimina(64/27)^(x+2)=
Elimina((4/3)^3)^(x+2)=
(potenza di potenza -> moltiplico gli esponenti)
(4/3)^(3(x+2))
nell'esercizio 2 l'equazione di 2' grado come fa a dare quelle soluzioni dovrebbe essere -2 +o- radice 4+88 fratto 6 che da un altro risultato
RispondiEliminaSe semplifichi il tuo risultato è lo stesso... io ho usato la formula ridotta (con il delta quarti)
EliminaMa nel secondo esercizio, alla fine, non avete applicato la formula risolutiva !?
RispondiEliminaNo Ian, la soluzione x2 dell'esercizio 2 è accettabile anche se non è un intero, in quanto è strettamente positiva ed è un numero appartenente all'insieme dei numeri reali (come peraltro la soluzione x1, con la differenza che non è accettabile in quanto è negativa).
RispondiEliminaperchè x deve essere strettamente positivo?
RispondiEliminaMa nel secondo esercizio nella formula risolutiva quando dividi tutto per 2 il delta sotto radice dovrebbe essere 44 e non 22
RispondiEliminapotreste spiegarmi come si risolve questa: 2^ (x+1) + 2^ -x =3
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