La derivata seconda non è stata svolta per comodità, ma il grafico è giusto. Di conseguenza se la svolgi ti deve venire sempre negativa (funzione concava)
dal punto di vista del logaritmo, giustamente il suo argomento deve essere strettamente maggiore di zero. Ma un valore assoluto, quando esiste, è sempre maggiore o uguale a zero. Dobbiamo solo preoccuparci del dominio della funzione interna x^2-5x+4, che è tutto R, e del fatto che non si annulli.
Asse y) Sostituendo x=0 nella funzione iniziale viene y=|4|=4
Asse x) y=0 --> f(x)=0 quindi ln|x^2 -5x +4|=0 Un logaritmo è uguale a zero quando il suo argomento è uguale a 1, quindi: |x^2 -5x +4|=1 Nella soluzione proposta ho fatto i due casi: quando l'argomento del modulo è maggiore o uguale a zero (per valori esterni tra 1 e 4) tolgo il modulo e lascio tutto come sta (x^2 -5x +4=1 ovvero x^2 -5x +3=0); quando l'argomento del modulo è minore di zero (per valori compresi tra 1 e 4) tolgo il modulo e cambio segno all'argomento (-x^2 +5x -4=1 ovvero x^2 -5x +5=0). Ottengo 4 soluzioni, due per ogni equazione.
Si può anche accorciare i calcoli sfruttando la formula: |g(x)|=k, k>0 --> g(x)=+-k quindi: |x^2 -5x +4|=1 --> x^2 -5x +4=+-1 che genera appunto: x^2 -5x +3=0 e x^2 -5x +5=0
e la derivata seconda?
RispondiEliminaLa derivata seconda non è stata svolta per comodità, ma il grafico è giusto. Di conseguenza se la svolgi ti deve venire sempre negativa (funzione concava)
RispondiEliminasalve potrebbe spiegarmi perchè nel dominio della funzione anzichè risolvere la disequazione x^2-5x+4>0 controlla dove sia diverso da zero?
RispondiEliminaCiao Anonimo,
RispondiEliminadal punto di vista del logaritmo, giustamente il suo argomento deve essere strettamente maggiore di zero. Ma un valore assoluto, quando esiste, è sempre maggiore o uguale a zero. Dobbiamo solo preoccuparci del dominio della funzione interna x^2-5x+4, che è tutto R, e del fatto che non si annulli.
Salve, come mai nello studio del segno quando si studia la parte negativa del modulo l'argomento: -x^2+5x-4>1. il segno non dovrebbe essere minore??
RispondiEliminaNo perchè ho tolto il modulo e cambiato segni, ma la disequazione "al di fuori del modulo" resta la stessa.
RispondiEliminaNon capisco l'intersezione con gli assi...
RispondiEliminaAsse y) Sostituendo x=0 nella funzione iniziale viene y=|4|=4
RispondiEliminaAsse x) y=0 --> f(x)=0
quindi ln|x^2 -5x +4|=0
Un logaritmo è uguale a zero quando il suo argomento è uguale a 1, quindi:
|x^2 -5x +4|=1
Nella soluzione proposta ho fatto i due casi: quando l'argomento del modulo è maggiore o uguale a zero (per valori esterni tra 1 e 4) tolgo il modulo e lascio tutto come sta (x^2 -5x +4=1 ovvero x^2 -5x +3=0); quando l'argomento del modulo è minore di zero (per valori compresi tra 1 e 4) tolgo il modulo e cambio segno all'argomento (-x^2 +5x -4=1 ovvero x^2 -5x +5=0). Ottengo 4 soluzioni, due per ogni equazione.
Si può anche accorciare i calcoli sfruttando la formula:
|g(x)|=k, k>0 --> g(x)=+-k
quindi:
|x^2 -5x +4|=1 --> x^2 -5x +4=+-1
che genera appunto:
x^2 -5x +3=0 e
x^2 -5x +5=0
Potresti meglio chiarirmi lo studio della derivata, cioè l'uso di entrambi i casi, data la questione modulo. Grazie..
RispondiEliminaIn pratica Per x<1 e x>4 derivo f(x)=log(x^2-5x+4), mentre Per 1<x<4 derivo f(x)=log(-x^2+5x-4)
EliminaPotrebbe spiegarmi perchè i limiti per x->1+ e per x->4+ esce - infinito? grazie
RispondiEliminaPerchè log(0+)=-inf
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