Studio di funzioni - Esercizio 80

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{\left|x^{2}-1\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:
Se \[ x^{2}-1>0\rightarrow x<-1\vee x>1 \] allora: \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1} \] Se \[ x^{2}-1<0\rightarrow x>-1\wedge x<1 \] allora: \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{1-x^{2}} \] 1) Dominio: \[ x^{2}-1\neq0\rightarrow x\neq\pm1 \] \[ D=R-\left\{ \pm1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^{3}}{\left|\left(-x\right)^{2}-1\right|}=-\frac{x^{3}}{\left|x^{2}-1\right|}=-f\left(x\right) \] f(x) è dispari: per comodità la possiamo studiare solo per x>0. Per x<0 disegneremo la curva simmetrica rispetto all'origine.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\:\forall x\geq0\\ Den>0\:\forall x\in D \end{array}\;\right.\rightarrow f\left(x\right)\geq0\:\forall x\geq0 \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}}{\left|x^{2}-1\right|}=1 \] \[ q=\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)-mx=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{3}}{x^{2}-1}-x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{3}-x^{3}+1}{x^{2}-1}=0 \] La retta y=x è un asintoto obliquo. \[ \lim_{x\rightarrow1^{\pm}}f\left(x\right)=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty \] x=1 , e x=-1 (perchè la funzione è dispari) sono asintoti verticali.

6) Derivate:
visto che studiamo la funzione per x positive, e visto che vogliamo togliere il valore assoluto, avremo due casi:

a) Intervallo (0;1): \[ f'\left(x\right)=\frac{3x^{2}\left(1-x^{2}\right)-x^{3}\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{3x^{2}-3x^{4}+2x^{4}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{3x^{2}-x^{4}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}} \] \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow3x^{2}-x^{4}\geq0\rightarrow x^{2}\left(3-x^{2}\right)\geq0 \] \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq-\sqrt{3}\;\wedge\; x\leq\sqrt{3} \] quindi f'(x) è positiva nell'intervallo (0;1), di conseguenza in questo intervallo f(x) è crescente. In x=0 si annulla, quindi (0;0) sarà un punto di flesso a tangente orizzontale: \[ F\left(0;0\right) \] b) x>1: \[ f'\left(x\right)=\frac{3x^{2}\left(x^{2}-1\right)-x^{3}\left(2x\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}=\frac{3x^{4}-3x^{2}-2x^{4}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}=\frac{x^{4}-3x^{2}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \] \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{4}-3x^{2}\geq0\rightarrow x^{2}\left(x^{2}-3\right)\geq0 \] \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-\sqrt{3}\;\vee\; x\geq\sqrt{3} \] quindi, considerando sempre l'intervallo x>1, tra 1 e rad3 f'(x) è negativa e f(x) è decrescente, per x>rad3 f'(x) è positiva e f(x) è crescente. Ricordando che la funzione è dispari avremo quindi un minimo per x=rad3 e un massimo per x=-rad3: \[ MAX\left(-\sqrt{3};-\frac{3}{2}\sqrt{3}\right) \] \[ MIN\left(+\sqrt{3};+\frac{3}{2}\sqrt{3}\right) \] Derivata seconda, i due casi:

a) Intervallo (0;1): \[ f''\left(x\right)=\frac{\left(6x-4x^{3}\right)\left(1-x^{2}\right)^{2}-\left(3x^{2}-x^{4}\right)2\left(1-x^{2}\right)\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}} \] facendo i conti: \[ f''\left(x\right)\geq0\rightarrow Num\geq0 \] \[ f''\left(x\right)>0\;\forall x\in\left(0;1\right) \] quindi in questo intervallo la funzione risulta convessa. Nell'intervallo (-1;0) risulterà concava.

b) x>1: \[ f''\left(x\right)=\frac{\left(4x^{3}-6x\right)\left(x^{2}-1\right)^{2}-\left(x^{4}-3x^{2}\right)2\left(x^{2}-1\right)\left(2x\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{4}} \] facendo i conti: \[ f''\left(x\right)\geq0\rightarrow Num\geq0 \] \[ f''\left(x\right)>0\;\forall x\in\left(1;+\infty\right) \] quindi in questo intervallo la funzione risulta convessa. Nell'intervallo x<-1 risulterà concava.