Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1+x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x} \] 1) Dominio: \[ 1+\left|x\right|\geq0\rightarrow\left|x\right|\geq-1\;\forall x\mathbb{\in R} \] \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt{1+\left|-x\right|}=\sqrt{1+\left|x\right|}=f\left(x\right) \] f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare solo per x>0. Per x<0 sarà simmetrica rispetto all'asse y.
3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=1 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;1\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \sqrt{1+\left|x\right|}=0 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \left|x\right|=-1 \end{array}\right.\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\;\forall x\in\mathbb{R} \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{1+x}}{x}=0 \] Non ci sono asintoti obliqui.
6) Derivate:
Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive: \[ f'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \] \[ f'\left(x\right)>0\;\forall x>0 \] quindi f'(x) è positiva nell'intervallo per x>0, di conseguenza in questo intervallo f(x) è crescente.
Notiamo che: \[ f'\left(0\right)=\frac{1}{2} \] \[ \lim_{x\rightarrow o^{-}}f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow o^{-}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=-\frac{1}{2} \] \[ \lim_{x\rightarrow o^{-}}f'\left(x\right)\neq f'\left(0\right) \] quindi (0;1) è un punto angoloso.
Derivata seconda:
Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive: \[ f''\left(x\right)=-2\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\left(\frac{1}{4\left(1+x\right)}\right)=-\frac{1}{4\sqrt{\left(1+x\right)^{3}}} \] \[ f''\left(x\right)<0\;\forall x\geq0 \] quindi per x>0 la funzione risulta concava. Per simmetria anche nell'intervallo x<0 risulterà concava.
Il dominio non dovrebbe essere maggiore e uguale a zero, io sapevo che R si mettesse con le radici dispari e nn pari.
RispondiEliminaCiao Mary,
RispondiEliminainfatti quando la radice ha indice pari (come in questo caso) il radicando va posto maggiore o uguale a zero:
1 + |x| >= 0 -->
--> |x| >= -1
Questa disequazione è vera per ogni x, perchè |x|>=0 per definizione e a maggior ragione sarà maggiore di un numero negativo...
Scusa, non era più consono parlare di punto di cuspide, in quanto la derivata prima si annulla per x=-1 e facendo il limite per x->-1 da destra e da sinistra viene +e- infinito?
RispondiEliminascusa, non "si annulla", ma "non è definita"
RispondiEliminaIn x=-1 è definita sia f=rad2, sia f'=1/(2rad2), quindi forse ti riferisci a x=0, che non è una cuspide perchè facendo il limite per x->0 da destra e da sinistra viene +- 1/2
Eliminascusa, mi potresti spiegare perché abbiamo fatto il limite della x che tende a 0? perché proprio 0 e non un altro numero?
EliminaScusa ma per quale motivo la derivata prima della funzione diventa fratta? se io ho rad(1+x), posso trasformarlo in (1+x)^1/2 e derivarlo...quindi mi verrebbe 1/2(1+x)...o mi sbaglio?
RispondiEliminaSi, ma viene 1/2 (1+x)^(-1/2) ...
Eliminascusa per l'asintoto obliquo il limite doveva venire = 1 invece = 0 , mi può spiegare perché??
RispondiEliminaperchè doveva venire 1?
EliminaViene zero perchè il grado del numeratore è 1/2, mentre al denominatore hai x (quindi grado 1): "vince" l'infinito al denominatore e il limite va a zero
Scusami perchè la derivata prima è sempre maggiore di zero?
RispondiEliminaperchè al numeratore 1>0, e al denominatore una radice quadrata, quando esiste, è sempre positiva
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RispondiEliminascusami ma tra -infinito e zero a me la derivata risulta sempre decrescente in quanto essa è
RispondiElimina-1/(2(rad1-x))
il denominatore è sempre positivo ma il numeratore essendo -1>0 è impossibile e quindi negativo su positivo= negativo
Il fatto è che questo ragionamento cozza con il grafico perchè a me risulta tendente a + infinito su tutto il dominio ma questa cosa mi manda in crisi
e tra l'altro è pure una funzione pari quindi ancora più in crisi, come faccio a dimostrare algebricamente che è sempre positiva?
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