Studio di funzioni - Esercizio 86

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-\left|x\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:
Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1+x} \] 1) Dominio: \[ 1-\left|x\right|\geq0\rightarrow\left|x\right|\leq+1\rightarrow x\in\left[-1;+1\right] \] \[ D=\left[-1:+1\right] \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt{1-\left|-x\right|}=\sqrt{1-\left|x\right|}=f\left(x\right) \] f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare solo per x>0. Per x<0 sarà simmetrica rispetto all'asse y.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=1 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;1\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \sqrt{1-\left|x\right|}=0 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \left|x\right|=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\pm1 \end{array}\right.\rightarrow\left(-1;0\right)\in f\left(x\right)\;;\;\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\;\forall x\in\mathbb{D} \] 5) Limiti:
Non ci sono limiti da calcolare perche la funzione è continua nell'intervallo chiuso -1;1.

6) Derivate:
Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive: \[ f'\left(x\right)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \] \[ f'\left(x\right)<0\;\forall x\in\left[0;1\right) \] quindi f'(x) è negativa per x>0, di conseguenza in questo intervallo f(x) è decrescente.

Notiamo che: \[ f'\left(0\right)=-\frac{1}{2} \] \[ \lim_{x\rightarrow o^{-}}f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow o^{-}}\frac{1}{2\sqrt{1+x}}=+\frac{1}{2} \] \[ \lim_{x\rightarrow o^{-}}f'\left(x\right)\neq f'\left(0\right) \] quindi (0;1) è un punto angoloso.
Notiamo anche che: \[ \lim_{x\rightarrow1^{-}}f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow o^{-}}\left[-\frac{1}{0^{+}}\right]=-\infty \] quindi la curva nel punto (1;0) ha come tangente la retta x=1.

Derivata seconda:
Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive: \[ f''\left(x\right)=-2\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\left(\frac{1}{4\left(1-x\right)}\right)=-\frac{1}{4\sqrt{\left(1-x\right)^{3}}} \] \[ f''\left(x\right)<0\;\forall x\in\left[0;1\right) \] quindi per x>0 la funzione risulta concava. Per simmetria nell'intervallo x<0 risulterà convessa.