3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\frac{1}{2} \end{array}\right.\rightarrow\left(\frac{1}{2};0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ N>0\rightarrow\ln\left(2x\right)>0\rightarrow x>\frac{1}{2} \] \[ D>0\rightarrow x>0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow x>\frac{1}{2}\\ f\left(x\right)<0 \rightarrow x>0\:\wedge\: x<\frac{1}{2} \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=-\infty \] x=0 è un asintoto verticale per f(x). \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0^{+} \] y=0 è un asintoto orizzontale per f(x).
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln\left(2x\right)}{x^{2}} \] \[ f'\left(x\right)=\frac{1-\ln\left(2x\right)}{x^{2}} \] Studiamone il segno: \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow1-\ln\left(2x\right)\geq0 \] \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln\left(2x\right)\leq1 \] \[ f'\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\frac{e}{2} \] Per x compreso tra i due valori x=0 e x=e/2 la funzione è crescente, per valori superiori a x=e/2 è invece decrescente. Otteniamo di conseguenza un massimo per \[ x_{MAX}=\frac{e}{2} \]
Derivata seconda: \[ f''\left(x\right)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^{2}-\left[1-\ln\left(2x\right)\right]\cdot2x}{x^{4}} \] \[ f''\left(x\right)=\frac{x\left[2\ln\left(2x\right)-3\right]}{x^{4}} \] \[ F_{1}>0\rightarrow x>0 \] \[ F_{2}\geq0\rightarrow2\ln\left(2x\right)-3>0\rightarrow x\geq\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f''\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}}\\ f''\left(x\right)<0 \rightarrow x>0\:\wedge\: x<\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}} \end{array}\right. \] La funzione è quindi concava tra x=0 e x=1/2*e^(3/2), convessa per x maggiori di 1/2*e^(3/2). Abbiamo un punto di flesso per \[ x_{F}=\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}} \]
salve,mi potreste spiegare meglio come si passa dal primo al secondo(ed ultimo) passaggio,nella derivata seconda??? grazie
RispondiEliminaCiao,
RispondiEliminail numeratore, semplificando x^2 con x, viene:
-x-2x(1-ln(2x))
raccogliamo la x:
x(-1-2(1-ln(2x)))
moltiplichiamo dentro parentesi:
x(-1-2+2ln(2x))
ed ecco il risultato:
x(2ln(2x) -3)
Buono studio!
potrei farti un'altra domanda?
RispondiEliminaAlla fine,si potrebbe semplificare la x del numeratore con la x^4 del denominatore?
Si certo, però dopo, nel calcolo del segno, dovresti tenere conto anche del denominatore (x^3 non è sempre positivo come x^4). Non allunghi l'esercizio, ma nemmeno lo accorci.
RispondiEliminasì..giusto...
RispondiEliminagrazie mille per la disponibilità.
scusa ma nn riesco a capire cm si fa a passare da:
RispondiEliminaln(2x)<1 a e/2 non so se mi sono spiegato bene
grazie comunque
Ok, evidenzio i passaggi intermedi:
RispondiEliminaln(2x) < 1
ln(2x) < ln(e), perchè ln(e)=1
2x < e
x < e/2
Visto che il ln(2x) esiste solo per x>0 (che è anche il dominio), otteniamo quindi:
0 < x < e/2
non si poteva lasciare 1 e quindi fare x<1/2 ?
EliminaScusa Albert mi spiegheresti gentilmente il 2^limite???quello di x--> +oo !!!cm mai hai messo 1/2x*2???grazie mille..
RispondiEliminaCiao Anonimo,
RispondiEliminaho usato il teorema di De L'Hopital...
Ciao Albert.
RispondiEliminaGentilmente potresti spiegarmi come fai a trovare il max? Ti premetto che sn alle prime armi,ma non l ho capito. Grazie
Ps. Ottimo sito..mi sta aiutando molto
Ciao Anonimo,
RispondiElimina- calcolo la derivata prima
- la pongo maggiore o uguale a zero: trovo che f'=0 quando x=e/2, e che f' è positiva nell'intervallo (0,e/2). Di conseguenza f' è negativa per x>e/2.
- Concludo che f è crescente nell'intervallo (0,e/2) e decrescente per x>e/2. Visto che in x=e/2 --> f'=0 trovo quindi che f ha un max quando x=e/2.
Ho capito!!!! Grazie mille
RispondiEliminaScusa ma la derivata prima non dovrebbe venire (1/2x)X(x)- (ln2x) tutto / x^2 ? perché a lei viene 1/x?
RispondiEliminaIl numeratore è ln(2x), quindi la sua derivata è
RispondiElimina1/(2x) * 2 = 1/x
Ti sei dimenticato il 2, che è la derivata dell'argomento (funzione interna 2x)
ciao,
RispondiEliminascusami non riesco a capire il passaggio, nella derivata seconda da 2ln(2x)-3>0 che ti da X>1/2^e^3/2
grazie
2ln(2x)-3>0
RispondiElimina2ln(2x)>3
ln(2x)>3/2
2x>e^(3/2)
x>1/2e^(3/2)
ciao ma il limite per x che tende a 0+ non dovrebbe dare + infinito?
RispondiEliminaLa funzione ln(2x) per x che tende a 0+ tende a meno infinito, perchè 2x tende a 0+, e ln(0+)= - inf.
RispondiEliminax che è il denominatore tende a 0+.
Quindi: [-inf/0+]= -inf
ciao, non riesco a capire perchè nel calcolo delle intersezioni , la x=1/2.
RispondiEliminaf(x)=0 --> (ln(2x))/x=0
Eliminae una frazione si annulla quando si annulla il numeratore, perciò:
ln(2x)=0
ln(2x)=ln(1)
2x=1 --> x=1/2
Buonasera
RispondiEliminavolevo fare una domanda. Ho questa funzione: f(x)=1-xln(x)
Sto provando a calcolare le intersezioni però x=0 lo escludo perchè = non fa parte del dominio, mentre per y=0 non riesco a trovarlo.
Quali sono i passaggi da effettuare per calcolare il punto di intersezione? Nelle soluzioni me lo riporta.
Grazie mille,
Angelo
Ciao Angelo,
Eliminaeh devi andare per tentativi:
ti viene lnx=1/x, disegni ln(x) e 1/x sullo stesso grafico e vedi che si intersecano in un unico punto (tra x=1 e x=2):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lnx%3D1%2Fx
Facendo qualche prova viene circa 1,75.
Perfetto ho capito. Ma in teoria se dovessi trovare una cosa simile in una traccia di esame, il calcolo di questa intersezione lo salto o devo obbligatoriamente farlo?
EliminaGrazie ancora della risposta,
Angelo
Se fai questo passaggio poi riesci a disegnare il grafico in modo più accurato. L'obbligatorietà o meno e l'eventuale punteggio assegnato dipende dal prof, ma non credo possa valere più di tanto...
Eliminaciao Albert mi spieghi il passaggio del secondo limite dv la x-->+infinito? a me viene 2..e poi ln2=0,7
RispondiEliminaPer x->+inf ln(2x)->+inf così come il denominatore. Quindi hai una forma indeterminata inf/inf che si risolve agilmente con de l'hopital, oppure col confronto tra infiniti (vince il denominatore e limite va a zero).
Eliminaciao
RispondiEliminascusa ma il dominio non dovrebbe essere [0,+∞) ?
in questo modo non ho asintoti verticali.
grazie
No, perchè per x=0 si annulla il numeratore (e oltretutto si annulla anche l'argomento del logaritmo), per cui in quel punto la f non esiste
Eliminasei un mito albert.. se passo l'esame di matematica ti faccio una donazione al sito!! grazie
RispondiEliminaahah grande! saresti il primo :D
EliminaIn bocca al lupo!
scusami visto che hai trovato l'asintoto orizzontale con y=0 perchè il grafico della funzione attraversa l'asintoto? O.o
RispondiEliminaSe una funzione ha un asintoto orizzontale, questo non significa che non possa intersecarlo una o più volte... Un esempio emblematico è f(x)=(senx)/x che interseca il suo asintoto y=0 infinite volte!
Eliminaciao scusa.. ma al secondo limite -inf/0+ non è una forma indeterminata??Grazie
RispondiEliminaNo: infinito fratto zero fa infinito ;)
Eliminaciao, ma perchè non calcoliamo l' intersezione con l' asse y??
RispondiEliminaperchè x=0 non appartiene al dominio
EliminaScusami albert ma il logaritmo nello studio del dominio non richiederebbe l'argomento maggiore di 0?
RispondiEliminaInfatti: 2x>0 --> x>0 (che è il dominio)
EliminaQuesto commento è stato eliminato dall'autore.
Eliminasalve, premetto che sono un principiante in materia, mi potresti spiegare il passaggio 2 , nel modo piu chiaro possibile, ti ringrazio in anticipo :)
RispondiEliminascusa , e il passaggio 3 che non ho capito, grazie mille !
Eliminay=0 -> La funzione si annulla quando si annulla il numeratore, ovvero quando ln(2x)=0 -> 2x=1 -> x=1/2
EliminaScusami il limite per cui tu trovi l'asintoto verticale y=0 è sbagliato,
RispondiEliminase leggo bene è: lim x->+oo di f(x) e sono più che certo che faccia +oo e non 0 come hai scritto
mi dispiace contraddirti: i limiti e gli asintoti sono giusti così come pubblicati
EliminaQuesto commento è stato eliminato dall'autore.
RispondiEliminaNon riesco proprio a spiegarmi il dominio e il segno (e sono le prime due cose che ho provato a fare. Mi piacciono molto di più gli appunti scannerizzati dove spieghi passo per passo quello che fai.
RispondiEliminaCiao Albert ! Volevo chiederti per il segno si pone ln(2x) >=0 quindi come soluzione non dovrebbe venire x>=0 anziche di x=1/2?
RispondiEliminaGrazie in anticipo
Ciao
RispondiEliminaScusa non riesco a capire come nello studio del segno si passi da ln2x> 0 a x> 1/2