3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=1 \end{array}\right.\rightarrow\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ N>0\rightarrow\ln x>0\rightarrow x>1 \] \[ D>0\rightarrow3\ln x-1>0\rightarrow x>e^{\frac{1}{3}} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow\left(0;1\right)\:\cup\:\left(\sqrt[3]{e};+\infty\right)\\ f\left(x\right)<0\rightarrow\left(1;\sqrt[3]{e}\right) \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\frac{1}{3} \] \[ \lim_{x\rightarrow\sqrt[3]{e}}f\left(x\right)=\infty \] x=e^(1/3) è un asintoto verticale per f(x). \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\frac{1}{3} \] y=1/3 è un asintoto orizzontale per f(x).
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}\left(3\ln x-1\right)-\ln x\cdot\frac{3}{x}}{\left(3\ln x-1\right)^{2}} \] \[ f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}\left(3\ln x-3\ln x-1\right)}{\left(3\ln x-1\right)^{2}} \] \[ f'\left(x\right)=\frac{-1}{x\left(3\ln x-1\right)^{2}} \] Studiamone il segno: \[ f'\left(x\right)<0\:\forall x\in D \] La funzione è sempre decrescente.
Derivata seconda: \[ f''\left(x\right)=\frac{\left(3\ln x-1\right)^{2}+2x\left(3\ln x-1\right)\cdot\frac{3}{x}}{x^{2}\left(3\ln x-1\right)^{4}} \] \[ f''\left(x\right)=\frac{\left(3\ln x-1\right)\left(3\ln x+5\right)}{x^{2}\left(3\ln x-1\right)^{4}} \] \[ F_{1}>0\rightarrow x>e^{\frac{1}{3}} \] \[ F_{2}\geq0\rightarrow x\geq e^{-\frac{5}{3}} \] La funzione è quindi convessa tra x=0 e x=e^(-5/3), e oltre x=e^(1/3). La funzione è invece concava tra x=e^(-5/3) e x=e^(1/3). Abbiamo un punto di flesso per \[ x_{F}=e^{-\frac{5}{3}} \]
salve!
RispondiEliminami potreste spiegare come si arriva ad infinito,per l'asintoto verticale?
Ciao!
RispondiEliminaAndando a sostituire x-->e^(1/3) alla funzione abbiamo che:
- al numeratore abbiamo ln(e^(1/3)) che per definizione è l'esponente da dare ad e (base) per ottenere e^(1/3) (argomento): quindi è 1/3.
- al denominatore lo stesso ragionamento ci porta ad avere 3*(1/3)-1=1-1=0.
Ora, nel linguaggio dei limiti, un numero (in questo caso 1/3) diviso 0 (o meglio un infinitesimo) dà come risultato infinito.
Buono studio!
maaaa lo studio della derivata prima e la derivata seconda?xD grazie mille cmq
RispondiEliminaCiao!
RispondiEliminaLo studio della derivata prima c'è, è appena sopra il grafico: f'(x)<0 per ogni x del dominio (x>0), quindi la funzione e decrescente.
Lo studio della derivata seconda non c'è, te lo faccio velocemente qui sotto:
Facendo i conti la f''(x) viene una frazione con numeratore uguale a
(3lnx -1)(3lnx +5)
e denominatore uguale a x^2*(3lnx -1)^4
Il denominatore, per x>0 (dominio), è sempre positivo.
Il numeratore, e quindi tutta f''(x), per x>0 (dominio), è positivo per x>e^(1/3).
Quindi per x>e^(1/3) la funzione è convessa, per 0<x<e^(1/3) la funzione è concava.
Buono studio!
perche la funzione è sempre decrescente dal punto di vista analitico?
RispondiEliminaPerchè la sua derivata prima, per x>0 (ovvero il dominio della funzione), è sempre negativa.
RispondiEliminasvolgendo i calcoli dopo aver imposto la derivata maggiore di 0; al denominatore non risulterebbe x> e^(1/3)?? grazie mille
RispondiEliminaNo, perchè il denominatore è un quadrato: è sempre positivo...
RispondiEliminasalve potrebbe spiegarmi come fa ad ottenere (3lnx-1)(3lnx+5) nel numeratore della derivata seconda? grazie
RispondiEliminaCiao Maic,
RispondiEliminasemplifico la x del "2x" con la x del "3/x", poi raccolgo (3lnx -1) e ottengo:
(3lnx -1)(3lnx -1 + 2*3) =
= (3lnx -1)(3lnx +5)
ciao, ma nel denominatore della derivata seconda non dovrebbe esserci anche x^2???
RispondiEliminaSi era una dimenticanza: ora ho aggiunto anche l'x^2, che comunque è sempre positivo nel dominio.
RispondiEliminaciao albert,mi illustreresti i primi due limiti.
RispondiEliminagrazie!!
Albert mi spiegheresti come capire i massimi e i minimi,sono la mia pecora nera.
RispondiEliminagrazie!
- Primi due limiti:
RispondiEliminaper x che tende a zero da destra la funzione logaritmo tende a meno infinito. Questo genera nel limite una forma indeterminata infinito su infinito. Raccolgo allora lnx al denominatore:
lnx/(lnx(3-1/lnx))
semplifico
1/(3-1/lnx)=
1/(3-1/-inf)=
1/(3-0)= 1/3
per x che tende a radice terza di e il denominatore tende a zero e il numeratore tende a 1/3 quindi:
(1/3)/0= inf
- Il segno della derivata determina la monotonia della funzione. Quando la derivata è positiva la funzione è crescente, quando la derivata è negativa la funzione è decrescente. Quando al derivata si annulla la funzione può avere un punto di massimo, minimo, o flesso a tangente orizzontale. Determino quindi esattamente di che punto si tratta valutando il segno della derivata (e quindi la monotonia della funzione) prima e dopo del suddetto punto.
ciao Albert,potresti spiegarmi come hai fatto la derivata di 3lnx-1,cioè come fa a venire 3/x.a me viene 3/x-1.
RispondiEliminaRicordati che la derivata di -1 è 0. Penso sia questo il tuo errore...
Eliminaciao Albert, mi potresti spiegare meglio come svolgere la derivata seconda perchè non sono riuscito a capire bene alcuni passaggi nonostante abbia letto il commento 10.Grazie!
RispondiEliminaQuale passaggio non ti è chiaro?
EliminaCiao senti io non capisco come da 3 ln x-1 arrivi a e^1/3... gentilmente mi faresti i passaggi? scusami x il disturbo :)
RispondiElimina3 ln x <> 1
RispondiEliminase elevi entrambi i membri alla base "e" ottieni l'argomento del logaritmo al cubo nel primo membro( al cubo perchè il 3 che moltiplica per una proprietà dei log si può scrivere come esponente dell'argomento)al secondo membro "e"
poi metti entrambi i membri sotto radice cubica ! semplifichi e ottieni x <> radice cubica di e ( che sarebbe e^1/3 ) :-)
comunque la derivata seconda io credo che sia sbagliata infatti non ha senso il flesso "e^-5/3"
RispondiEliminail punto in cui cambia la concavità è il punto "e^1/3" che però non è un flesso perchè è un punto che non appartiene al dominio quindi di discontinuità di sec.specie)
Il flesso per x=e^(-5/3) è circa x=0.2 e non si apprezza dal grafico (ma c'è e ha senso, perchè risulta dai conti). Per x=e^(1/3) c'è un cambio di concavità che, come dici tu, non è un flesso (infatti non l'ho segnalato come tale nello svolgimento).
Eliminascusa Albert, io non capisco il limite per x che tende a 0+! :( perchè fa 1/3 ?? O.o
RispondiEliminaRaccogli il log al denominatore:
Eliminalim lnx/(lnx(3-1/lnx)) =
lim 1/(3-1/lnx) = 1/(3-0) = 1/3
Al dominio lnx>0 viene posto come x>0
RispondiEliminaNello studio del segno lnx>o viene posto come x>1 .. dov'è la differenza?
Il logaritmo esiste (non si parla di positività lnx>0) quando il suo argomento è positivo, quindi lnx esiste quando x>0
EliminaMentre lnx>0 quando x>1, vedi il grafico del logaritmo e te ne rendi conto.
Il limite per x che tende ad e elevato 1/3 di f(x) fa infinito. E sono daccordo!! Ma come dimostrare che va a +infinito da destra e a -infinito da sinistra?
RispondiEliminaBasta sfruttare l'indicazione data dal segno della funzione: positiva a destra -> +inf , e negativa a sinistra -> -inf
EliminaMa per lo studio del segno, perchè una volta la funzione si pone >0 e una volta <0?
RispondiEliminaPerché la funzione non passa per il punto (1;0) ?
RispondiEliminaNella Derivata seconda non mi è chiaro il 2x.. io la x la metto davanti al(3ln....)^2.. come fa ad essere dopo il meno?
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