\[
f''\left(x\right)=\frac{\cos^{3}x-3\cos x+2}{\left(1-\cos x\right)^{4}}
\]
\[
f''\left(x\right)\geq0\rightarrow\cos^{3}x-3\cos x+2\geq0
\]
\[
f''\left(x\right)\geq0\rightarrow\cos^{3}x-3\cos x+2\geq0
\]
\[
f''\left(x\right)\geq0\rightarrow\left(\cos x-1\right)^{2}\left(\cos x+2\right)\geq0\;,\; con\;\cos x\neq1
\]
\[
f''\left(x\right)\geq0\;\forall x\in D
\]
Segue che la disequazione è sempre verificata in D, di conseguenza
la f''(x) è sempre positiva e la funzione sempre convessa.
scusa l'ultimo elemento della derivata seconda no ndovrebbe esssere -2sen^2xcosx ?
RispondiEliminaHai proprio ragione! Ai fini dello studio non cambia niente, ma il calcolo è tutt'altro...ho modificato. Prezioso commento, grazie!
RispondiEliminaal penultimo passaggio della derivata seconda è:
RispondiEliminacos^3(x)-3cos(x)+2 (non -2cos(x) come c'è scritto!)
Hai ragione, le conclusioni sono le stesse, ma ho modificato...
RispondiEliminaciao albert, nella derivata seconda come fai a raggiungere quel risultato al numeratore del secondo passaggio?
RispondiEliminaciao e grazie
Ciao,
RispondiEliminafacendo i conti...e ricordando che (senx)^2=1-(cosx)^2
Come mai segue che la derivata seconda è sempre positiva?
RispondiElimina(cosx -1)^2 è un quadrato, quindi sempre positivo (tranne in x=0 e x=2pi che però non appartengono al dominio)
RispondiElimina(cosx +2) è sempre positivo perchè cosx assume valori compresi tra -1 e 1, di conseguenza se aggiungi 2 ottieni valori sempre positivi (in particolare maggiori di 1)
Salve
RispondiEliminaHo un dubbio per quanto riguarda l'individuazione degli estremi inferiore e superiore della funzione e sul minimo....
premesso che mi trovo come lei, ho posto come estremo superiore + infinito mentre l'estremo inferiore in questo caso equivale al minimo,in questo caso assoluto....
secondo lei è giusto il mio ragionamento?
grazie
Si, è giusto, però per la definizione di estremo esso non può essere infinito, quindi per la precisione questa funzione è illimitata superiormente e quindi non ha estremo superiore
EliminaCiao!! Nello studio degli asintoti ho provato a calcolare anche quello per x tendente infinito (per la ricerca dell'asintoto orizzontale) ed effettivamente calcolando mi viene -1. Come mai non lo si deve considerare?
RispondiEliminaIl calcolo è questo: lim (x->inf) f(x)=inf/inf applico De L'Hopital --> lim(x->inf)-sen x/senx =-1
dove sbaglio?
Hai sbagliato in principio. Hai presupposto che per x tendente ad infinito cosx sia uguale ad infinito, cosa falsa perché quando x tende ad infinito cosx continua ad essere un valore fra 1 e -1. Quindi l'intero tuo discorso è fallato. Semplicemente non esiste il limite.
Eliminaciao albert,potresti gentilmente mettere il procedimento per ottenere il numeratore della derivata seconda ?
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